1 Etude analytique

L’équation du modèle de von Bertalanffy est : \[\frac{{dN\left( t \right)}}{{dt}} = {r_0}\left( {K - N\left( t \right)} \right)\]

1.1 Résolution exacte

Il s’agit d’une équation à variables séparables qu’on résout facilement : \[\begin{array}{l} \frac{{dN\left( t \right)}}{{dt}} = {r_0}\left( {K - N\left( t \right)} \right)\\ \Leftrightarrow \frac{{dN\left( t \right)}}{{K - N\left( t \right)}} = {r_0}dt\\ \Leftrightarrow - \ln \left| {K - N\left( t \right)} \right| = {r_0}t + cste\\ \Leftrightarrow K - N\left( t \right) = C{e^{-{r_0}t}}\\ \Leftrightarrow N\left( t \right) = K - C{e^{-{r_0}t}} \end{array}\] En utilisant la condition initiale \(N(0) = N_0\), il vient : \[N\left( t \right) = K + \left( {{N_0} - K} \right){e^{-{r_0}t}}\]

1.2 Point d’équilibre

Les points d’équilibre s’obtiennent par la résolution de l’équation \(\frac{dN(t)}{dt} = 0\), ce qui conduit ici à \(N^* = K\) ; il n’y a donc qu’un seul point d’équilibre pour le modèle de von Bertalanffy.

Sachant que \(N(t) > 0\) et \(r_0 > 0\), lorsque \(N(t) < K\), alors \(\frac{dN(t)}{dt} > 0\), et lorsque \(N(t) > K\), alors \(\frac{dN(t)}{dt} < 0\). On en déduit que le point d’équilibre \(N_2^* = K\) est asymptotiquement stable.

Remarque : si \(N_0 = 0\), il y a tout de même croissance ; ce n’est pas un point d’équilibre.

1.3 Portrait de phase

par(mar = c(0,0,0,0))
plot(0,0, xlim = c(-1,1), ylim = c(-0.25,0.25), xaxt = "n", yaxt = "n", xlab = "", ylab = "", bty = "n", col = "white")
text(1,0.1, labels = expression(N(t)))
arrows(-1,0,1,0)
points(0,0, pch = 19)
segments(-1,-0.01,-1,0.01)
text(c(-1,0), c(-0.1,-0.1), labels = c("0","K"))
arrows(-0.6,0,-0.5,0, length = 0.1, col = "red", lwd = 2)
arrows(0.6,0,0.5,0, length = 0.1, col = "red", lwd = 2)

1.4 Point d’inflexion

L’équation de von Bertalanffy s’écrit \(\frac{dN}{dt} = f(N)\) avec \(f(N) = r_0 (K - N)\). En appliquant ce que l’on a vu pour le modèle logistique, on sait que les points d’inflexion sont solutions de l’équation \(\frac{df(N)}{dN} = 0\).

\[\frac{df(N)}{dN} = - r_0 \neq 0\]

Il n’y a donc pas de point d’inflexion pour le modèle de von Bertalanffy.

1.5 Remarques générales

Le modèle de von Bertalanffy est plutôt adapté à la croissance individuelle de biomasse (e.g., poissons). Avec ce modèle, la croissance démarre très vite (pas de point d’linflexion), il n’y a que du freinage.

De plus, même si \(N_0 = 0\), la population peut croître : ce modèle n’est pas cohérent avec la croissance bactérienne qui nous occupe ici.

2 Simulation

par(mar = c(4,4,4,1))
K <- 8000
N0 <- 1000
r0 <- 1.5
curve(((N0-K)*exp(-r0*x)+K), ylim = c(0, 10000),
   from = 0, to = 10, las = 1,
   main = "Modele de von Bertalanffy",
   xlab = "Temps (h)", 
   ylab = "Population bacterienne (UFC/ml)")