1 Etude analytique

L’équation du modèle de Gompertz est la suivante : \[\frac{{dN\left( t \right)}}{{dt}} = r_0 N\left( t \right)\ln \left( {\frac{K}{{N\left( t \right)}}} \right)\]

1.1 Résolution exacte

Pour la résolution exacte il faut faire un changement de variable : \[u(t) = \ln \left( \frac{K}{N(t)} \right)\]

On peut alors écrire \(u(t) = \ln K - \ln \left( N(t) \right)\), ce qui permet de calculer : \[\frac{du(t)}{dt} = - \frac{1}{N(t)} \frac{dN(t)}{dt}\]

C’est-à-dire : \[\frac{du(t)}{dt} = - r_0 u(t)\] qui se résout très simplement en \(u(t) = C e^{-r_0 t}\) avec \(C\) la constante d’intégration.

Finalement, on obtient \(\ln \left( \frac{K}{N(t)} \right) = C e^{-r_0 t}\), c’est-à-dire \(N(t) = K e^{C e^{-r_0 t}}\).

Avec la condition initiale \(N(0) = N_0\), on obtient la solution finale : \[N(t) = K e^{\ln \left( \frac{N_0}{K}\right) e^{-r_0 t}}\]

1.2 Points d’équilibre et stabilité

Les points d’équilibre s’obtiennent par la résolution de l’équation \(\frac{dN(t)}{dt} = 0\), ce qui conduit à \(N_1^* = 0\) ou bien \(N_2^* = K\), c’est-à-dire les mêmes points d’équilibre que pour le modèle logistique.

Sachant que \(N(t) > 0\), lorsque \(N(t) < K\), alors \(\frac{dN(t)}{dt} > 0\), et lorsque \(N(t) > K\), alors \(\frac{dN(t)}{dt} < 0\). On en déduit que, comme dans le modèle logistique, le point d’équilibre \(N_1^* = 0\) est instable, tandis que le point d’équilibre \(N_2^* = K\) est asymptotiquement stable.

On a par conséquent le même portrait de phase.

par(mar = c(0,0,0,0))
plot(0,0, xlim = c(-1,1), ylim = c(-0.25,0.25), xaxt = "n", yaxt = "n", xlab = "", ylab = "", bty = "n")
text(1,0.1, labels = expression(N(t)))
arrows(-1,0,1,0)
points(c(-1,0), c(0,0), pch = 19)
text(c(-1,0), c(-0.1,-0.1), labels = c("0","K"))
arrows(-0.6,0,-0.5,0, length = 0.1, col = "red", lwd = 2)
arrows(0.6,0,0.5,0, length = 0.1, col = "red", lwd = 2)

1.3 Point d’inflexion

L’équation de Gompertz s’écrit \(\frac{dN}{dt} = f(N)\) avec \(f(N) = r_0 N \ln \left( \frac{K}{N(t)} \right)\). En appliquant ce que l’on a vu pour le modèle logistique, on sait que les points d’inflexion sont solutions de l’équation \(\frac{df(N)}{dN} = 0\). \[f\left( N \right) = r_0 N \ln \left( {\frac{K}{N}} \right) = r_0 N \ln K - r_0 N \ln N\] Donc \[\frac{{df\left( N \right)}}{{dN}} = r_0 \ln K - r_0 \ln N - r_0 = r_0 \left( {\ln \left( {\frac{K}{N}} \right) - 1} \right)\] Ainsi : \[\frac{{df\left( N \right)}}{{dN}} = 0 \Leftrightarrow \ln \left( {\frac{K}{N}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow {N_{\inf }} = \frac{K}{e}\]

Le point d’inflexion du modèle de Gompertz est donc situé à une ordonnée plus basse que le modèle logistique (\(\frac{K}{e} < \frac{K}{2}\)), c’est-à-dire à une abscisse plus précose.

1.4 Remarques générales

Le modèle de Gompertz est relativement équivalent au modèle logistique. Son point d’inflexion plus bas implique que l’asymptote horizontale en \(^N = K\) est atteinte plus vite pour les mêmes valeurs des paramètres. Le choix de l’un ou l’autre dépend des données expérimentales que l’on a.

2 Simulation

N0 <- 100
K <- 8000
r0 <- 0.85
curve(K*exp(log(N0/K)*exp(-r0*x)), from = 0, to = 15, las = 1, main = "Le modèle de Gompertz", xlab = "Temps (h)", ylab = "Population bactérienne (UFC/ml)", ylim = c(0,10000))
abline(h = K/exp(1), lty = 2, col = "red")
legend("topleft", legend = c("Courbe théorique","Point d'inflexion"), lty = c(1,2), col = c(1,2))
text(0,3600, labels = "K/e", col = "red")